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新蘇教版小學六年級上冊數學《一長方體和正方體》單元知識復習清單

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發表于 2019-8-24 17:32:32 | 只看該作者 回帖獎勵 |倒序瀏覽 |閱讀模式
一 長方體和正方體
  一、長方體的認識
1.認識長方體的面、棱、頂點。
(1)從不同的角度觀察同一個長方體。
把長方體放在桌面上,無論從哪個角度觀察,最多只能同時觀察到長方體的三個面。
(2)長方體的棱和頂點。
長方體兩個面相交的線叫作長方體的棱,三條棱相交的點叫作長方體的頂點。
2.長方體的特征。
長方體是由6個長方形(也可能有2個相對的面是正方形)圍成的立體圖形,它有6個面、12條棱和8個頂點。在一個長方體中,相對的面完全相同,相對的棱長度相等。
3.長方體長、寬、高的含義。
長方體相交于同一頂點的三條棱的長度,分別叫作它的長、寬、高。
4.長方體的長、寬、高不是固定不變的,它與長方體的擺放方式有關。長方體相交于同一頂點的三條棱中,通常把水平方向的兩條棱分別叫作它的長和寬,把豎直方向的一條棱叫作它的高。
二、正方體的認識
1.正方體也叫立方體。它是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。它的6個面是完全相同的正方形,12條棱的長度都相等,有8個頂點。
2.正方體的長、寬、高相等,都叫正方體的棱長。
3.長方體和正方體的特征的異同。
①相同點:都有6個面、12條棱、8個頂點,相對的面完全相同,相對的棱長度相等。
②不同點:長方體的6個面都是長方形(也可能有2個相對的面是正方形);一般情況下,棱有3組,每組4條棱長度相等。正方體的6個面是完全相同的正方形;每條棱的長度都相等。
三、正方體、長方體的展開圖
1.把一個正方體沿一條棱剪開,如下圖所示。
正方體的展開圖是由6個完全相同的正方形組成的,可以通過觀察、折疊找到3組相對的面。

2.沿長方體的棱把長方體剪開,展開圖中有3組相對的面,相對的面完全相同,相對的面完全隔開。

3.沿著正方體(或長方體)的棱將它剪開,可以把正方體(或長方體)展開成一個平面圖形,這個平面圖形就是正方體(或長方體)的展開圖。在展開圖中,正方體的6個面完全相同(長方體相對的面完全相同),相對的面完全隔開。
四、長方體和正方體表面積的意義及計算方法
1.表面積的意義:長方體(或正方體)6個面的總面積,叫作它的表面積。
2.長方體和正方體表面積的計算方法。
(1)長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2=(長×寬+長×高+寬×高)×2。
如果用S表示長方體的表面積,用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高,那么長方體表面積的計算公式是S=2ab+2ah+2bh或S=(ab+ah+bh)×2。
(2)正方體的表面積=棱長×棱長×6。
如果用S表示正方體的表面積,用a表示棱長,那么正方體表面積的計算公式是S=6a2。
五、運用長方體和正方體表面積的計算方法解決實際問題
1.求長方體和正方體物體的表面積時,最關鍵的是要根據實際情況確定好求幾個面的面積和。
2.在實際生活中,并不是所有長方體形狀的物體都有6個面,如長方體的魚缸只有5個面,通風管只有4個面。因此,在計算時要根據實際情況解題。
六、體積和容積的意義
1.物體所占空間的大小叫作物體的體積。
2.能盛裝其他物體的都可以稱為容器,不能盛裝其他物體的都不是容器。
3.容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。
4.有容積的物體一定有體積,但有體積的物體不一定有容積。
七、體積單位
1.棱長是1厘米的正方體,體積是1立方厘米。
2.棱長是1分米的正方體,體積是1立方分米。
3.棱長是1米的正方體,體積是1立方米。
4.常用的體積單位有立方厘米、立方分米和立方米,用字母表示分別是cm3、dm3和m3。
八、容積單位
1.容積單位的使用方法。
計量容積,一般就用體積單位。計量液體的體積,如水、油等,通常用升或毫升作單位。升和毫升,用字母表示分別為L和mL,其中1 L=1000 mL。
2.容積單位的換算。
1 dm3=1 L 1 cm3=1 mL
高級單位向低級單位轉換用乘法計算;低級單位向高級單位轉換用除法計算。
3.“容積”與“體積”的區別。
(1)意義不同。
體積是指物體所占空間的大小,而容積是指容器所能容納物體的體積。一個物體有體積,但它不一定有容積。
(2)測量方法不同。
求物體的體積是從物體的外面測量它的長、寬、高進行計算,而求物體的容積則必須從里面來測量它的長、寬、高,然后計算。因此,對于同一個物體,一般來說,它的容積要比體積小。
(3)單位名稱不完全相同。
體積單位一般用立方米、立方分米、立方厘米。固體、氣體的容積單位與體積單位相同,而液體的容積單位一般用升、毫升。
九、長方體體積公式的推導
1.以取12個1立方厘米的小正方體,擺出不同形狀的長方體為例,如下圖:

每個小正方體的體積是1立方厘米,每個長方體是由12個小正方體擺成的,所以每個長方體的體積都是12立方厘米。


2.填寫表格。
        長/cm        寬/cm        高/cm        小正方體的個數        體積/cm3
長方體①        12        1        1        12        12
長方體②        6        2        1        12        12
長方體③        4        3        1        12        12
長方體④        3        2        2        12        12
3.(1)在擺成的長方體中,每排小正方體的個數相當于長方體的長;排數相當于長方體的寬;層數相當于長方體的高。
(2)長方體所含小正方體(體積單位)的個數正好等于長方體長、寬、高的乘積。
4.長方體體積公式的字母表達式。
如果用V表示長方體的體積,用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高,那么長方體的體積公式可以寫成V=abh。

長方體的體積=長×寬×高,字母公式為V=abh。
5.拓展提高。
當長方體的長、寬、高都擴大到原來的n倍時,它的體積就擴大到原來的n3(n×n×n=n3)倍;當長方體的長、寬、高都縮小到原來的時,它的體積就縮小到原來的。
十、正方體體積公式的推導
1.長方體的體積=長 ×  寬 ×  高
        ↓        ↓        ↓
正方體的體積=棱長×棱長×棱長
2.正方體體積的字母公式。
如果用V表示正方體的體積,用a表示正方體的棱長,那么正方體體積的字母公式可以寫成V=a·a·a=a3。
3.拓展提高。
當正方體的棱長擴大到原來的n倍時,它的體積就擴大到原來的n3倍;當正方體的棱長縮小到原來的時,它的體積就縮小到原來的。
十一、運用體積公式解決實際問題
如果長方體和正方體體積公式中的已知條件都具備,那么可直接利用公式計算體積。
十二、長方體和正方體體積的通用公式
1.長方體和正方體底面積的意義。
長方體和正方體無論怎樣放置,總有一個面與平面接觸,通常把這個面叫作底面。長方體和正方體底面的面積,叫作它們的底面積。
2.長方體和正方體底面積的計算方法。
(1)長方體的底面積=長×寬。
(2)正方體的底面積=棱長×棱長。
3.長方體和正方體體積公式的推導。
長方體(或正
方體)的體積=底面積×高
長方體(或正方體)的體積=底面積×高。如果用V表示體積,S表示底面積,h表示高,那么長方體(或正方體)的體積公式可以寫成V=Sh。
十三、容積的計算方法
1.長方體或正方體物體容積的計算方法與體積的計算方法相同,知道長、寬、高或棱長,即可根據體積公式求出物體的容積。
2.體積和容積的區別與聯系。
(1)不同點。
①意義不同。
Ⅰ.物體所占空間的大小叫作物體的體積。
Ⅱ.容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。
②測量方法不同。
Ⅰ.求物體的體積是從物體的外部來測量長、寬、高或棱長。
Ⅱ.求物體的容積是從容器的內部來測量長、寬、高或棱長。
③單位名稱不完全相同。
Ⅰ.體積單位一般用立方米、立方分米、立方厘米。
Ⅱ.容積一般用體積單位,但在計量液體(如藥水、汽油等)的體積時,常用升或毫升作單位。
(2)相同點。
計算公式相同。長方體(或正方體)的體積(或容積)=底面積×高。
       
易錯點:誤認為一個長方體中最多有4條相等的棱。這是錯誤的,一定要注意長方體的6個面不一定都是長方形,也可能有2個相對的面是正方形。當長方體有2個相對的面是正方形時,就有8條棱長度相等。

直觀圖中的實線表示從某個角度能夠看到的棱,虛線表示看不到的棱。

長方體12條棱的長度和叫作長方體的棱長總和。長方體的棱長總和=(長+寬+高)×4。



易錯點:誤認為有6個面、12條棱、8個頂點的立體圖形不是長方體就是正方體。這是不正確的,一定要注意有6個面、12條棱、8個頂點并不代表它就是長方體或正方體,要看它是否具備長方體或正方體的所有特征,如下圖,這個立體圖形既不是長方體,也不是正方體。

正方體的棱長總和:棱長×12。
正方體具有長方體的一切特征,正方體是特殊的長方體。



同一個立體圖形,沿不同的棱剪開,得到的展開圖不同。


技巧:
正方體有6個相同的面,可以通過觀察、折疊找到3組相對的面。
長方體有3組相對的面,可以通過看是否完全隔開,完全隔開的一組面就是相對的兩個面。

當所求的長方體的表面積是6個面的面積時,先分別求出每組相對的面中一個面的面積,相加后再乘2較簡便。

舉例:大廳里有8根高為5米的方柱需要涂油漆,方柱的橫截面是邊長為0.5米的正方形,若1千克油漆可以涂5平方米,則涂這8根方柱需要多少千克油漆?
錯解0.5×0.5×2+0.5×5×4)×8÷5×1=16.8(千克)
答:涂這8根方柱需要16.8千克油漆。
正解:0.5×5×4×8÷5×1=16(千克)
答:涂這8根方柱需要16千克油漆。

一個容器容積的大小與它所能盛裝物體的多少有關。因為容器都有一定的厚度,所以一個容器的體積一般大于它的容積。

并不是只有棱長是1 cm、1 dm、1 m的正方體的體積才是1 cm3、1 dm3和1 m3。




易錯點:誤認為容積就是體積,這是不對的,一定要注意“容積”與“體積”的不同。如一本書有體積,卻沒有容積。

較大容器盛裝液體時用“升”作單位,較小容器盛裝液體時用“毫升”作單位。

巧記:
體積單位常用到,相鄰進率是1000。
高級單位化低級,要把此數乘1000。
低級單位化高級,除以1000把數算。
轉換過程要細心,掌握進率是關鍵。


明確擺成不同形狀長方體的長、寬、高分別是多少。

1立方厘米的小正方體的邊長是1厘米。長方體的長、寬、高由幾個小正方體擺成,它的長、寬、高就分別是幾厘米,它的體積正好等于擺成長方體所需小正方體的個數。

舉例:如果一個長方體的長、寬、高都擴大到原來的2倍,那么它的體積就擴大到原來的23倍,即8倍;反之,如果一個長方體的長、寬、高都縮小到原來的,那么它的體積就縮小到原來的,即。

a·a·a也可以寫成“a3”,即a·a·a=a3,讀作“a的立方”,表示3個a相乘。因此,正方體的體積公式一般寫成V=a3。寫a3時,“3”要寫在a的右上角,且要略小一些。
舉例:如果一個正方體的棱長擴大到原來的2倍,那么它的體積就擴大到原來的8倍;反之,如果一個正方體的棱長縮小到原來的,那么它的體積就縮小到原來的。

在有些實際問題中,也可以用“橫截面的面積×長”來計算體積。

運用通用公式進行計算時,一定要注意單位的統一。如一個長方體的底面積是8平方厘米,高是3分米,求體積。
錯解:8×3=24(立方厘米)
正解:3分米=30厘米,8×30=240(立方厘米)

計算體積從外面測量長、寬、高;計算容積從里面測量長、寬、高。有的物體既有體積,也有容積,如箱子、油桶、瓶子等。有的物體有體積,卻沒有容積,如石頭、木頭這類實心的物體。既有體積又有容積的物體,它的體積一定大于它的容積。只有在容器厚度忽略不計的情況下,容積才可以看作與體積相等。
巧記:
容積、體積孿兄弟,只是度量不統一。
容積心中裝物體,體積只想占空間。
容積尺寸從里測,體積尺寸從外量。
記住二者不同處,計算才能少失誤。


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